Lec11 扩充的数据结构、动态有序统计和区间树

MIT算法导论课程：Lec11 扩充的数据结构、动态有序统计和区间树，对应书上的章节：Chapter 14

1. Dynamic order statistics

Augmenting Data Structures(扩充的数据结构)

实现功能

OS-SELECT(i, S): returns the ith smallest element in the dynamic set S

OS-RANK(x, S): returns the rank of x ∈ S in the sorted order of S’s elements.

IDEA: 对set S采用红黑树，但是在节点里保存子树的大小。size[x] = size[left[x]] + size[right[x]] + 1.

实现的一个技巧：对NIL采用sentinel(dummy record)，size[NIL]=0.

OS-SELECT(x,i) //ith smallest element in the subtree rooted at x 

k=size[left[x]]+1 //k=rank(x)
if i=k then return x
if i<k
	then return OS-SELECT(left[x],i)
	else return OS-SELECT(right[x],i-k)

运行时间为\(O(h)=O(\lg n)\).

为什么保存树的大小而不是直接是值得rank，因为Insert和DELETE，当修改红黑树时，很难维护它们。插入或删除时更新子树大小。

插入时修改树的大小值，然后需要重新平衡。

• Recolorings: 对树的大小没有影响

• Rotations: \(O(1)\)的时间修复树

  

2. Methodology

1. 选择基础数据结构（红黑树）。
2. 确定要存储在数据结构中的其他信息（子树大小）
3. 确认可以保留此信息以进行修改操作（RBINSERT，RB-DELETE-不要忘记轮换）。
4. 开发使用该信息的新动态集操作（OS-SELECT和OS-RANK）。

这些步骤是指导性的，而不是严格的规则。

3. Interval trees

目标：维护动态间隔集，例如时间间隔

Query：对于给定的查询间隔i，在集合中找到一个与i重叠的间隔。

Following the methodology

1. 选择基础数据结构：红黑树key设为低端点。

2. 确定要存储在数据结构中的其他信息。在每个节点x中存储以x为根的子树中的最大值m[x]以及与该键对应的间隔int[x]。

   

3. 验证可以保留此信息以用于修改操作。

   1. Insert：沿着树插下来。

   2. Rotations：修复需要\(O(1)\)时间。

      

4. 开发使用该信息的新动态集操作。

   

Analysis

查询一次需要\(O(\lg n)\)，查询所有：搜索，列出，删除，重复。需要\(O(k\lg n)\)，最好的算法为\(O(k+\lg n)\).

Correctness