MIT算法导论课程：Lec14 竞争性分析，自组织表，对应Sleator, Daniel D., and Robert E. Tarjan. "Amortized efficiency of list update and paging rules." Communications of the ACM 28, no. 2 (February 1985): 202-208.
1. Self-organizing lists
Self-organizing lists
表L有n个元素，操作ACCESS(x)的成本为\(rank_L(x)\)，也就是x到头节点的长度。L可以相邻元素的交换，cost为1.
On-line and off-line problems
on-line：序列操作S,必须立刻执行操作，不知道未来的操作。
off-line：可以提前看到之后所有的操作。
Goal：最小化总成本\(C_A(S)\)。
Worst-case analysis of self organizing lists
worst case：总是访问L中的尾元素，\(C_A(S)=\Omega(|S|*n)\)。
Average-case analysis of self organizing lists
假设元素x以概率p(x)被访问，\(E[C_A(S)]=\sum_{x\in L}p(x)*rank_L(x)\)。其中当L以概率P降序进行排序时期望成本最小。
Heuristic:对访问的元素进行计数，然后保存L以计数降序排序。
2. Move-to-front heuristic
在实践中发现move-to-front(MTF)启发式的方法有较好的结果。具体做法是在访问x后，将x移动到表头，\(cost=2*rank_L(x)\)。MTF方法对于局部性方法有较好的解。
3. Competitive analysis of MTF
定义： 一个on-line算法A是\(\alpha-competitive\) 如果存在常数k对于任何操作序列S有\(C_A(S)\leq \alpha*C_{OPT}(S)+k\)，其中\(OPT\)是off-line的最优算法。
Theorem： MTF对于self-organizing lists是一个4-competitive。
proof：
首先定义一些变量：
定义势能函数\(\Phi:{L_i}->R\) \[
\begin{aligned}
&\Phi\left(L_{i}\right)=2 \cdot \mid\left\{(x, y): x \prec_{L_{i}} y \text { and } y \prec_{L_{i} *} x\right\}\\
&=2 \cdot \# \text { inversions }
\end{aligned}
\] 
可以看出：
- \(\Phi(L_i)\geq 0\) for all i>=0
- \(\Phi(L_0)=0\) 如果MTF和OPT开始时一样
一次transpose，\(\Delta\Phi=\pm2\)，因为一次transpose会产生或者消除一个逆序对。
下面看当访问一个元素会发生什么，进行如下的定义：
\(r=rank_{i-1}(x)=|A|+|B|+1\)，\(r^*=|A|+|C|+1\).
MTF将x移动到表头，产生|A|的逆序对，消除了|B|的逆序。对OPT的每次transpose产生小于1的逆序对，因此\(\Phi(L_i)-\Phi(L_{i-1}\leq2(|A|-|B|+t_i))\).
Amortized cost
MTF第i次操作的平摊代价为： \[
\begin{aligned}
\hat{c}_{i} &=c_{i}+\Phi\left(L_{i}\right)-\Phi\left(L_{i-1}\right) \\
& \leq 2 r+2\left(|A|-|B|+t_{i}\right) \\
&=2 r+2\left(|A|-(r-1-|A|)+t_{i}\right) \\
&=2 r+4|A|-2 r+2+2 t_{i} \\
&=4|A|+2+2 t_{i} \\
& \leq 4\left(r^{*}+t_{i}\right) \\
&=4 c_{i}^{*}
\end{aligned}
\]
因此我们可以得出：
\[ \begin{aligned} C_{\mathrm{MTF}}(S) &=\sum_{i=1}^{|S|} c_{i} \\ &=\sum_{i=1}^{|S|}\left(\hat{c}_{i}+\Phi\left(L_{i-1}\right)-\Phi\left(L_{i}\right)\right) \\ & \leq\left(\sum_{i=1}^{|S|} 4 c_{i}^{*}\right)+\Phi\left(L_{0}\right)-\Phi\left(L_{|S|}\right) \\ & \leq 4 \cdot C_{\mathrm{OPT}}(S) \end{aligned} \] Addendum
如果将把x转移到表头的代价看作0（x从表中拆除在插在表头，时间是常量），则MTF是2-competitive。
如果\(L_0\neq L_0^*\)
- \(\Phi(L_0)\)最差情况为\(\Theta(n^2)\)。
- 因此：\(C_{MTF}\leq 4*C_{OPT}(S)+\Theta(n^2)\)，也是4-competitive，因为\(|S|->+\infty\)，\(n^2\)也是常量，n不受到|S|的影响。
