Lec15 动态规划，最长公共子序列

MIT算法导论课程：Lec15 动态规划，最长公共子序列，对应书上的章节：Chapter 15

1.Longest common subsequence

最长公共子序列：给两个序列x[1..m]和y[1..n]，找到两者之间最长的公共子序列。

x: ABCBDAB；y:BDCABA。可以看出BCBA|BDAB|BCAB=LCS(x,y)。

Brute-force LCS algorithm

检查x中所有的子序列在y中是否存在。一个子序列检查需要\(O(n)\)的时间，x中有\(2^m\)的子序列，最坏运行时间为：\(O(n2^m)\).

Towards a better algorithm

考虑x,y的前缀。定义\(C[i,j]=|LCS(x[1..i]),y[1..j]|\)。然后\(c[m,n]=|LCS(x,y)|\)。

转换公式：\(c[i, j]=\left\{\begin{array}{ll} c[i-1, j-1]+1 & \text { if } x[i]=y[j], \\ \max \{c[i-1, j], c[i, j-1]\} & \text { otherwise. } \end{array}\right.\)

证明：略。

2. Optimal substructure

最优子结构：问题（实例）的最佳解决方案包含子问题的最佳解决方案。

例子：如果\(z=LCS(x,y)\)，那么任何z的前缀是一个x前缀与y前罪的LCS。

Recursive algorithm for LCS

LCS(x,y,i,j)
	if x[i]=y[j] then
		c[i,j]=LCSV(x,y,i-1,j-1)+1
	else
		c[i,j]=max{LCS(x,y,i-1,j),LCS(x,y,i,j-1)}

3. Overlapping subproblems

重叠子问题：递归解决方案包含多次重复的“少量”独特子问题。两个长度为m和n的字符串的不同LCS子问题的数量仅为\(mn\)

Memoization : 计算完一个子问题的解决方案后，将其存储在表中。后续调用检查表以避免重做工作。

LCS(x,y,i,j)
	if c[i,j]=NIL
	if x[i]=y[j] then
		c[i,j]=LCSV(x,y,i-1,j-1)+1
	else
		c[i,j]=max{LCS(x,y,i-1,j),LCS(x,y,i,j-1)}

IDEA：自下而上计算表格。

• Time=\(\Theta(mn)\)
• Space=\(\Theta(mn)\)

可以优化到\(O(min\{m,n\})\)