MIT算法导论课程：Lec16 贪婪算法，最小生成树，对应书上的章节：16.1-16.3 and 22.1, Chapter 23
1. Graph representation
Graphs
图分为有向图和无向图，可以用\(G=(V,E)\)表示。
\(|E|=O(V^2)\)，又因为图是联通的，所以\(|E|\geq|V|-1\)，因此\(\lg |E|=\Theta(\lg V)\).
Adjacency-matrix representation
也可以用权重。\(\Theta(V^2)\) storage，dense representation。
Adjacency-list representation
用表\(Adj[v]\)表示v点指向的节点。
对于无向图：\(|Adj[v]|=degree(v)\).
对于有向图：\(|Adj[v]|=out-degree(v)\).
Handshaking Lemma:对于无向图\(\sum degree(v)=2|E|\)
所以Adjacency list是一个sparse representation，\(\Theta(V+E)\)，经常比邻接矩阵要好。
2. Minimum spanning trees
输入：一个联通无向图\(G=(V,E)\)，和权重函数\(w:E->\R\)。为了简化，所有边都是互异的。
输出：一个生成树T，连接所有节点并且权重最小。\(w(T)=\sum_{(u,v)\in T}w(u,v)\).
3. Optimal substructure
移去最小生成树中的任意一个边，然后T被分为了两个子树\(T_1\)和\(T_2\).
Theorem: 子树\(T_1\)是子图\(G_1\)的最小生成树，子树\(T_2\)是子图\(G_2\)的最小生成树。
Proof： cut and paste方法：\(w(T)=w(u,v)+w(T_1)+w(T_2)\).
如果\(T_1'\)是比\(T_1\)对于\(G_1\)更小的生成树这样\(T'=\{(u,v)\}\cup T'\cup T_2\)就是比\(T\)更小的生成树。这是与假设冲突的。
4. Greedy choice
Greedy-choice property：一个局部最优解也是全局最优解。
Theorem： \(T\)是\(G\)的最小生成树，\(A\)是\(V\)的子集，假设\((u,v)\in E\)是\(A\)到\(V-A\)权重最小的边，那么\((u,v)\in T\).
Proof: 假设\((u,v)\notin T\)，cut and paste.考虑T中从u到v的唯一简单路径。(u,v)和这条路径的第一个A到V-A的边交换，这样T变得更小了，假设冲突。
5. Prim’s greedy MST algorithm
IDEA: V-A维护为一个优先队列Q，将A与V之间最小权值边的权值当作Q的key.
不同数据结构时间复杂度对比：
如今最好算法：
- Karger, Klein, and Tarjan [1993].
- Randomized algorithm.
- O(V + E) expected time
