MIT算法导论课程：Lec17 最短路径算法：Dijkstra算法，广度优先搜索 ，对应书上的章节：Section 22.2
1. Properties of shortest paths
Paths in graphs
考虑一个带权重边的图，路径的权重为\(w(p)=\sum_{i=1}^{k-1}w(v_i,v{i+1})\).
从u到v的最短路径为：\(\delta(u,v)=min\{w(p:p\ is\ a\ path\ from\ u\ to \ v)\}\)。
如果u到v不存在路径则\(\delta(u,v)=+\infty\).
如果边的权重可以为负数，那么最短路径可能不存在，因为可能有一个负数的环。
Optimal substructure
Theorem: 最短路径的子路径也是最短路径。
Proof: Cut and Paste.
Triangle inequality
Theorem: 对于所有的\(u,v,x,\in V\)，有：\(\delta(u,v)\leq \delta(u,x)+\delta(x,v)\).
Single-source shortest paths
假设边的权重都是非负的，所有的最短路径都是存在的。
IDEA：贪心（Greedy）.
维护一个从s到该集合S的点的最短路径已知的集合。
每一步从\(v\in V-S\)中添加一个估计距离s最短点到S中。
更新到v的距离。
2. Dijkstra’s algorithm
算法：
松弛操作部分可以理解为对三角不等式的约束进行不断松弛的操作，使之满足，再松弛过程中实现了降序排列Key的操作。
3. Correctness
Part 1
Lemma:初始化\(d[s]=0,其他的点d[v]=+\infty\)，在整个过程中对于所有\(v\in V,d[v]\geq \delta(s,v)\)。
proof: 反证法，假设v是第一个\(d[v]<\delta(s,v)\)的点，u是导致改变的点\(d[v]=d[u]+w(u,v)\)。所以有一下矛盾。
Part 2
Lemma：u是v最短路径的前一节点，如果\(d[u]=\delta(s,u)\)，并且边\((u,v)\)是已经松弛了的，则我们有通过松弛后\(d[v]=\delta(s,v)\)。
proof：松弛过程实现
Part 3
Lemma：Dijkstra 算法最后会计算出所有的\(d[v]=\delta(s,v)\).
Proof：v 添加到S中时可以保证\(d[v]=\delta(s,v)\)，通过反证法证明。假设u时第一个添加到S中去\(d[u]>\delta(s,u)\)的。假设y是第一个u的最短路径中的S-V中的节点。当x添加时，\(d[x]=\delta(s,x)\)，边(x,y)是松弛过的，\(d[y]=\delta(s,y)\leq\delta(s,u)<d[u]\)。但是\(d[u]\leq d[y]\)，矛盾了。
4. Analysis
5. Breadth-first search
假设对于所有的边\(w(u,v)=1\) ，采用FIFO队列代替优先队列。
